Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
③函数f（x）的值域为[0，+∞）；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”．
其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；利用反证法及2^x变化如下：2，4，8，16，32，判断②命题错误；连续利用题中第③个条件得到③正确；据①③的正确性可得④是正确的．

解答：解：①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，正确；
②f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，2x1-2x2=10，又，2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
③取x∈（2^m，2^m+1），则

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，f（

x

2

）=…=2^m（

x

2m

）=2^m+1-x
从而f（x）∈[0，+∞），正确
④根据③的分析容易知道该选项正确；
综合有正确的序号是①③④．
故答案为①③④

点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．