Question

14．已知以点C（a，$\frac{2}{a}$）（a∈R，a≠0）为圆心的圆与x轴相交于O，A两点，与y轴相交于O，B两点，其中O为原点．
（1）当a=2时，求圆C的标准方程；
（2）当a变化时，△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
（2）设直线l：2x+y-4=0与圆C相交于M，N两点，且|OM|=|ON|，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，写出圆的方程即可．
（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．

解答 解：（1）a=2时，以点C（2，1）为圆心的圆与x轴相交于O，A两点，与y轴相交于O，B两点，
∵圆C过原点O，
∴OC²=2²+1²=5．
则圆C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5，
（2）∵圆C过原点O，
∴OC²=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
则圆C的方程是（x-a）²+（y-$\frac{2}{a}$）²=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
令x=0，得y₁=0，y₂=$\frac{4}{a}$，
令y=0，得x₁=0，x₂=2a
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×|$\frac{4}{a}$|×|2a|=4，
即：△OAB的面积为定值；
（3）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，
∴OC垂直平分线段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=$\frac{1}{2}$，
∴直线OC的方程是y=$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$t，解得：a=2或a=-2，
当a=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=$\sqrt{5}$，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=$\frac{9}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，
圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴a=-2不符合题意舍去，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=$\sqrt{5}$，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{5}$，
圆C与直线y=-2x+4相交于两点，
|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{5-\frac{1}{5}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{30}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．