Question

已知函数f（x）=

2

x-2

（Ⅰ）用定义法证明其在（2，+∞）上的单调性．
（Ⅱ）求f（x）在[4，5]上最值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数单调性的定义即可证明函数在（2，+∞）上的单调性．
（Ⅱ）根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论．

解答： （Ⅰ）证明、设x₁，x₂是（2，+∞）上任意两个值，且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

2

x1-2

-

2

x2-2

=

2(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f(x)=

2

x-2

在（2，+∞）上是减函数
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，函数f（x）在[4，5]上单调递减，
则f(x)min=f(5)=

2

5-2

=

2

3

；f(x)max=f(4)=

2

4-2

=1．

点评：本题主要考查函数单调性的证明以及函数最值的求解，利用单调性的定义是解决本题的关键．