Question

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

，a₂=

19

36

并且数列log₂（a₂-

a1

3

），log₂（a₃-

a2

3

），…，log₂（a_n+1-

an

3

）是公差为-1的等差数列，而a₂-

a1

2

，a₃-

a2

2

，…，a_n+1-

an

2

是公比为

1

3

的等比数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：由数列{log₂（a_n+1-

an

3

）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a_n+1与a_n的一个递推关系式①；由数列{a_n+1-

an

2

}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a_n+1与a_n的另一个递推关系式②．解两个关系式的方程组，即可求出a_n．

解答：解：∵数列{log₂（a_n+1-

an

3

）}是公差为-1的等差数列，
∴log₂（a_n+1-

an

3

）=log₂（a₂-

1

3

a₁）+（n-1）（-1）=log₂（

19

36

-

1

3

×

5

6

）-n+1=-（n+1），
于是有a_n+1-

an

3

=2^-（n+1）．①
又∵数列{a_n+1-

1

2

a_n}是公比为

1

3

的等比数列，
∴a_n+1-

1

2

a_n=（a₂-

1

2

a₁）•3^-（n-1）
=（

19

36

-

1

2

×

5

6

）•3^-（n-1）=3^-（n+1）．
于是有a_n+1-

1

2

a_n=3^-（n+1）．②
由①-②可得

1

6

a_n=2^-（n+1）-3^-（n+1），
∴a_n=

3

2n

-

2

3n

．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合，数列与函数的综合．考查了学生分析问题和解决问题的能力．