Question

已知数列的前项和为满足.

（1）函数与函数互为反函数，令，求数列的前项和；

（2）已知数列满足，证明:对任意的整数，有.

 

Answer 1

（1）;

【解析】

试题分析：（1）先由题意求出的解析式，再利用数列前n项和与第n项关系，求出及第n项与第n-1项的递推关系，结合等比数列的定义知数列是等比数列，再根据等比数列通项公式求出的通项公式，由对数函数与指数函数互为反函数结合已知条件求出的解析式，将的通项公式代入求出的通项公式，利用数列求和方法求出；（2）求出的通项公式，将不等式左边具体化，利用放缩法化成等比数列求和问题求出和，通过放缩所证不等式.

试题解析：（1）由，得

当时，有，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以

由题意得，所以

①

得 ②

得，所以

（2）由通项公式得，当且为奇数时

当且为偶数时

当且为奇数时

所以对任意的整数，有.

考点：1.数列前n项和与第n项关系;2.等比数列定义与通项公式；3.对数函数与指数函数是互为反函数；4.错位相减法；5.放缩法证明不等式.