Question

已知数列满足对任意的，都有，
且．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）解：当时，有，
由于，所以．
当时，有，
将代入上式，由于，所以．
（2）解：由于，                    ①
则有．              ②
②－①，得，
由于，所以．                   ③
同样有，                        ④
③－④，得．
所以．
由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
故．
（3）解：由（2）知，则．
所以

．
∵，∴数列单调递增．
所以．
要使不等式对任意正整数恒成立，只要．
∵，∴．
∴，即．
所以，实数的取值范围是．