解:(1)设P(x,y),M(a,0),∵
,
∴PM∥y轴,
∴点P在直线x=a上.
又
,
,
∴PH⊥FM,点P在线段FM的垂直平分线上,由抛物线定义,动点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,
∴动点P 轨迹方程是x
2=4y;
(2) 设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),AB的方程:y=kx+3,把它代入x
2=4y,得
x
2-4kx-12=0,
x
1+x
2=4k,x
1x
2=-12,
y
1+y
2=4k
2-6,y
1y
2=9.
设AB在x轴的射影是A
1B
1,
=(x
1,y
1-1)•(x
2,y
2-1)=x
1x
2+y
1y
2-(y
1+y
2)+1
|
|•|
|=|FA
1|•|FB
1|=(y
1+1)•(y
2+1)=y
1y
2+(y
1+y
2)+1,
∴cosθ=
=
≤cos
≤-
,解得|k|≥1+
∴k∈(-∞,-1-
]∪[1+
,+∞)
分析:(1)根据且
,点P在直线x=a上,由抛物线定义,动点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,求出动点P 轨迹方程;(Ⅱ)直线与抛物线相交,联立方程,利用伟大定理,寻找向量
夹角为θ的余弦值,求出直线m斜率的取值范围.
点评:考查平面向量与解析几何的结合,体现了向量的工具性,考查了抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,在求解过程中,韦达定理的应用体现了方程的思想,和整体代换的思想方法,属中档题.