Question

（Ⅰ）已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，若数列是等差数列，
①求a_n；
②令（a＞0），若对一切n∈N*，都有，求q的取值范围；
（Ⅱ）是否存在各项都是正整数的无穷数列{c_n}，使对一切n∈N*都成立？若存在，请写出数列{c_n}的一个通项公式；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）①设等差数列{a_n}的公差为d，
则，
因为是等差数列，
所以，即，
解得d=0或d=1，
因为d≠0，所以d=1，
此时，
即是等差数列，
所以a_n=n，；
②由①得，
所以，
因为，
所以，所以；
（Ⅱ）假设存在各项都是正整数的无穷数列{c_n}，使对一切n∈N*都成立，
则，
所以，
所以，
若，则，
所以当n∈N*时，，即，
因为c_n∈N*，所以，
令c₁=M，
所以（c₂-c₁）+c₁≤-（M+1）+M=-1＜0，
与矛盾；
若，取N为的整数部分，
则当n≥N时，，
所以，即，
因为c_n∈N*，所以，
令c_N=M，
所以
≤-（M+1）+M=-1＜0，
与矛盾；
综上，假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{c_n}，使对一切n∈N*都成立。