Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比数列，数列{b_n}满足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2 an+1 2

，（n∈N⁺）其中k为大于0的常数．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记数列a_n+b_n的前n项和为T_n，若当且仅当n=3时，T_n取得最小值，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的等差数列的三项之间的关系，求出数列的首项和公差的关系，求出首项和公差，写出数列的通项，根据所给的数列的递推式，代入前面求出的数列的通项，整理仿写一个通项，连续两项做差，再利用累加得到要求的数列的通项．
（2）根据所求的两个数列的通项．构造新数列，连续两项做差，得到数列是一个递增数列，当n=3时，取得最小值，根据条件做出k的取值范围．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比数列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化简得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1=bn+

k

2 an+1 2

=bn+

k

2n

∴bn+1-bn=

k

2n

当n≥2时，bn-bn-1=

k

2n-1

bn-1-bn-2=

k

2n-2

b2-b1=

k

2

∴bn-b1=

k

2n-1

+

k

2n-2

+

k

2

=k×(

2n-1-1

2-1

×

1

2n-1

)=k×

2n-1-1

2n-1

=k-

2k

2n-1

∴bn=-9+k-

2k

2n-1

当n=1时，b₁=9满足上式
∴bn=-9+k-

2k

2n-1

(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn=-9+k-

k

2n-1

(n∈N*)
∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=2+

k

2n

＞0
∴数列a_n+b_n是递增数列
∵当n=3时，T_n取得最小值
∴a3+b3=5+(k-9-

k

4

)=

3k

4

-4＜0a4+b4=7+(k-9-

k

8

)=

7k

8

-2＞0
解得

16

7

＜k＜

16

3

．

点评：本题考查数列的递推式和数列的求和，本题解题的关键是应用函数的思想来解决数列的问题，本题是一个综合题目．