Question

（2012•海淀区二模）已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}的前n项和公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列，建立方程，求得首项与公差，可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{

1

Sn

}的通项，利用裂项法，可求数列的和．

解答：解：（Ⅰ）设公差为d，且d≠0，
∵S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列
∴3a₁+3d=a₁+3d+6，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∴a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴数列{

1

Sn

}的前n项和为

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．