Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a，a∈N^*，设数列的前n项和为S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设An=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，若A2011=

2011

2012

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列可得 (

1

a2

)2=

1

a1

.

1

a4

，化简可得d=a．所以a_n=na．
（II）求出S_n，可得

1

Sn

的解析式，用裂项法求得A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

n+1

），再由A2011=

2011

2012

求出a的值．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列可得  (

1

a2

)2=

1

a1

.

1

a4

，化简得(a1+d)2=a1(a1+3d)，
因为d≠0，所以d=a．所以a_n=na．------（6分）
（II）∵S_n=a+2a+3a+…+na=

a•n•(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

a

（

1

n

-

1

n+1

），∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

n+1

），
∵A2011=

2

a

.

2011

2012

=

2011

2012

，
∴a=2．-----（12分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．