Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2，求出几何量，即可得到椭圆C的方程；
（2）由（1）知F₁（-1，0），则△F₂PQ的周长为4a=8，所以S△F2PQ=

1

2

•4a•r（r为三角形内切圆半径），可得当△F₂PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．

解答： 解：（1）∵椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2，
∴a=2，c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1-----------------------（4分）
（2）由（1）知F₁（-1，0），过点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F₂PQ的周长为4a=8，
∴S△F2PQ=

1

2

•4a•r（r为三角形内切圆半径），
∴当△F₂PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．-----------------------（5分）
设直线l方程为：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4+3k2)y2-6ky-9=0⇒

y1+y2= 6k 3k2+4 y1•y2=- 9 3k2+4

-----------------（7分）
∴S△F2PQ=

1

2

•|F1F2|•|y1-y2|=

12 k2+1

3k2+4

-------------------（9分）
令

k2+1

=t，则t≥1，所以S△F2PQ=

12

3t+ 1 t

，而3t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，
∴S△F2PQ=

12

3t+ 1 t

≤3，当t=1时取等号，即当k=0时，△F₂PQ的面积最大值为3，
结合S△F2PQ=

1

2

•4a•r=3，得r的最大值为

3

4

，
∴S=πr2=

9

16

π-----------------（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，综合性强．