Question

7．设f（α）=$\frac{sin（α-\frac{13π}{2}）•tan（α-3π）}{cos（α+\frac{9π}{2}）•tan（\frac{7π}{2}+α）}$．
（1）化简f（α），并求f（-$\frac{67π}{6}$）；
（2）若f（α ）=$\frac{2}{5}$，求cosα．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简函数解析式，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
（2）由f（α ）=-tanα=$\frac{2}{5}$，利用同角三角函数基本关系式可求cosα=±$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$的值．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{sin（α-\frac{13π}{2}）•tan（α-3π）}{cos（α+\frac{9π}{2}）•tan（\frac{7π}{2}+α）}$=$\frac{（-cosα）tanα}{（-sinα）cotα}$=-tanα，
可得：f（-$\frac{67π}{6}$）=-tan（-$\frac{67π}{6}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵f（α ）=-tanα=$\frac{2}{5}$，可求：tanα=-$\frac{2}{5}$，
∴cosα=±$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=±$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{4}{25}}}$=±$\frac{5\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．