Question

7．已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：
（1）BC边上的高所在的直线方程；
（2）AB边上中垂线方程；
（3）∠A平分线所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意和垂直关系可得高线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（2）由中点公式可得AB的中点，由斜率公式可得AB的斜率，进而可得垂线的斜率，可得方程；
（3）由（2）可得k_AB=2，又可得k_AC，由到角公式可得直线斜率，可得方程．

解答 解：（1）由题意可得直线BC的斜率k_BC=$\frac{-2-3}{3-4}$=5，
∴由垂直关系可得高线的斜率k=-$\frac{1}{5}$，
又高线过点A（2，-1），
∴所求方程为y+1=-$\frac{1}{5}$（x-2）
整理为一般式可得x+5y+3=0；
（2）由中点公式可得AB的中点为（3，1），
由斜率公式可得AB的斜率k_AB=$\frac{-1-3}{2-4}$=2，
∴中垂线的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴AB边上中垂线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-3）
整理为一般式可得x+2y-5=0；
（3）由（2）可得k_AB=2，又k_AC=$\frac{-1-（-2）}{2-3}$=-1，
设∠A平分线所在的直线斜率为k，
由到角公式可得$\frac{2-k}{1+2k}$=$\frac{k-（-1）}{1-k}$，解得k=-3+$\sqrt{10}$，或k=-3-$\sqrt{10}$（舍去）
∴所求直线方程为y+1=（$\sqrt{10}$-3）（x-2）
整理可得（$\sqrt{10}$-3）x-y+2$\sqrt{10}$+5=0

点评 本题考查直线的方程，涉及到角公式以及直线的垂直关系，属中档题．