Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求f（m）+f′（n）的最小值，就分别求f（m）、f′（n）的最小值
（2）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即寻找f（x）_max＞0是变量a的范围．

解答：解：（1）由题意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或

4

3

当x在[-1，1]上变化时，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

∴对于m∈[-1，1]，f（m）的最小值为f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的对称轴为x =

2

3

且抛物线开口向下
∴对于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值为f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11．

（2）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

）
①若a≤0，当x＞0，时f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4∴当a≤0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0
②若a＞0，则当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0，
当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0从而f（x）在（0，

2

3

]上单调递增，在[

2a

3

，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（

2a

3

）=-

8a3

27

+

4a2

9

-4
根据题意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，解得a＞3
综上，a的取值范围是（3，+∞）

点评：本题考查了三次函数、二次函数的最值问题，以及存在性问题．