Question

如图所示,斜边为AB的Rt△ABC,过A作PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足.

(1)求证:PB⊥平面AEF;

(2)若∠PBA=∠BAC=45°,求二面角A-PB-C的大小;

(3)若PA=AB=2,∠BPC=θ,求θ为何值时,S_△AEF最大,最大值是多少?

Answer 1

(1)证明:BC⊥平面PAC,再证AF⊥平面PBC,即可证PB⊥平面AEF.

(2)解:∠AEF是所求二面角的平面角,设AB=a,

∴AE=a,AC=a,PC=a.

又AF=a,∴sin∠AEF=.∴∠AEF=arcsin.

(3)解:由题意P,A,B,E是定点,C,F是动点,且F随C运动而运动.

∵C在平面ABC内沿以AB为直径的圆周上移动(不包括A,B两点),由PB⊥平面AEF,且∠AFE=90°,

∴F在过A而垂直于PB的平面内,在以AE为直径的圆周上移动(不包括A,E两点).

∴当AF=EF时,S_△AEF最大,此时AE=AB=,EF=AE=1.

在Rt△PEF中,PE=PB=AB=,tanθ==,

∴θ=arctan时,S_△AEF最大,最大值为AF·EF=.