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精英家教网请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析:(1)可设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),写出a,h与x的关系式,并注明x的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式,最后求出何时它取得最大值即可;
(2)利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式,最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可.
解答:解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=
2
x,h=
2
(30-x),0<x<30.
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,
∴当x=15时,S取最大值.
(2)V=a2h=2
2
(-x3+30x2),V′=6
2
x(20-x),
由V′=0得x=20,
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0;
∴当x=20时,包装盒容积V(cm3)最大,
此时,
h
a
=
1
2

即此时包装盒的高与底面边长的比值是
1
2
点评:考查函数模型的选择与应用,考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力.属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省威海四中高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省泰州市泰兴三中高二(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题

请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

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科目:高中数学 来源:2013届广东省高二第七学段考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本小题14分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.

(1)请用分别表示|GE|、|EH|的长

(2)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?

H

 
(3)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

 

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省高三练习数学 题型:解答题

请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,EFAB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AEFBxcm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

 

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