Question

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径，AA₁=AC=CB=2．
（Ⅰ）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）设E，F分别为AC，BC上的动点，且CE=BF=x，问当x为何值时，三棱锥C-EC₁F的体积最大，最大值为多少？

Answer 1

分析：（I）欲证平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁ACC₁；
（II）表示出三棱锥C-EC₁F的体积，利用配方法，可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：因为AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
而BC?平面B₁BCC₁，所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（II）解：∵CE=BF=x，∴CF=2-x
∴VC-EC1F=VC1-ECF=

1

3

S△ECF•CC1=

1

3

•2•

1

2

x•(2-x)=

1

3

[-(x-1)2+1]
∴x=1时，三棱锥C-EC₁F的体积最大，最大值为

1

3

．

点评：本题考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，三棱柱的体积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．