Question

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（1）证明：O₁A∥平面B₁OC；
（2）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）设AB=AA₁=2，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P，当点C在圆周上运动时，求P的最大值．

Answer 1

分析：（1）要证O₁A∥平面B₁OC，只要证明O₁A平行于平面B₁OC内的一条直线即可，通过证明四边形AOB₁O₁为平行四边形即可得到证明；
（2）要证平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，只要证明其中一个面经过另一个面的一条垂线即可，由三棱柱的侧棱垂直于底面，结合直径所对的圆周角为直角即可完成；
（3）测度比为体积比，圆柱的体积一定，只要求出C在底面圆周上运动时和时保证棱柱的体积最大即可，并求出最大体积，则答案可求．

解答：解：（1）如图，
连结O₁A，∵O₁B₁∥OA且O₁B₁=OA，
∴四边形AOB₁O₁为平行四边形，∴O₁A∥OB₁，
又OB₁?平面B₁OC，∴O₁A∥平面B₁OC；
（2）∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．
又AC∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁ACC₁，而BC?平面B₁BCC₁，
所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA₁=2r，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V1=

1

2

AC•BC•2r=AC•BC•r
设∠BAC=α（0°＜α＜90°），则AC=ABcosα=2rcosα，BC=ABsinα=2rsinα，
由于AC•BC=4r²sinαcosα=2r²sin2α≤2r²，
当且仅当sin2α=1，即α=45°时等号成立，故V1≤2r3
而圆柱的体积V=πr²•2r=2πr³，故p=

V1

V 2

≤

2r3

2πr3

=

1

π

，
当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立．
∴P的最大值等于

1

π

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判断，考查了平面与平面垂直的判断，训练了利用体积比求几何概型的概率，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，是中高档题．