Question

设P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)C的方程为=1,n=3. 点P₁(3,0) 及S₃=255, 求点P₃的坐标； (只需写出一个)

(2)若C的方程为(a>b>0). 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值；

(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件,并说明理由.

　　  

 

Answer 1

答案：
解析：

【解】(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70. 由得  ∴点P3的坐标可以为(2, ).  (2)【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.    ∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2,     ∴≤d<0. ∵n≥3,>0     ∴Sn=na2+d在[,0)上递增,   故Sn的最小值为na2+·=.   【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由解得y= 　　　　 　　 ∵0< y≤b2,得≤d<0　　  ∴≤d<0    以下与解法一相同.    (3)解法一】若双曲线C:－=1,点P1(a,0),    则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.    ∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[,+∞),且=a2,    ∴点P1, P2,…Pn存在当且仅当2>2,即d>0.    【解法二】若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0),    则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.理由同上    【解法三】若圆C:(x－a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),     则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是0<d≤.     ∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,    且=0, ∴d>0且2=(n－1)d≤4a2.即0<d≤.