Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，点（a_n，a_n+1+1）在函数f（x）=2x+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函数f（x）=2x+1的图象上
则a_n+1+1=2a_n+1（n∈N^*）有a_n+1=2a_n
∵a₁=1，
∴a_n≠0，
∴
∴{a_n}是公比为2的等比数列，通项公式为a_n=2^n-1（n∈N^*）
（2）∵a_n=2^n-1（n∈N^*），
∴a₁=1，q=2，
=2ⁿ-1．（n∈N^*）．
（3）∵=，
∴T_n=，①
T_n=，②
①-②，得=
=，
∴T_n=2-．
分析：（1）：将点（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）代入函数f（x）=2x+1的解析式，整理后发现{a_n}是公比为2的等比数列，通项公式可求：a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1（n∈N^*），知a₁=1，q=2，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．
（3）由=，知T_n=，由此利用错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和T_n．
点评：本题主要考查等比数列的判定，性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．