Question

设0≤θ≤π，P=sin2θ+sinθ-cosθ
（1）若t=sinθ-cosθ，用含t的式子表示P；
（2）确定t的取值范围，并求出P的最大值．

Answer 1

分析：（1）由t=sinθ-cosθ，有t²=1-2sinθcosθ=1-sin2θ，由此可得 P=1-t²+t=-t²+t+1．
（2）由以上可得 t=sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)，根据θ的范围求得-1≤t≤

2

，再利用二次函数的性质求出P的最大值．

解答：解：（1）由t=sinθ-cosθ，有t²=1-2sinθcosθ=1-sin2θ．∴sin2θ=1-t²，∴P=1-t²+t=-t²+t+1．
（2）由以上可得 t=sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)．
∵0≤θ≤π，∴-

π

4

≤θ-

π

4

≤

3π

4．

，∴-

1

2

≤sin(θ-

π

4

)≤1．
即t的取值范围是-1≤t≤

2

．由于函数P(t)=-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，在[-1，

1

2

]内是增函数，
在[

1

2

，

2

]内是减函数．
∴当 t=

1

2

时，P取得最大值是

5

4

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于中档题．