Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

2

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

S2(x)

x+3

，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得，2a=6，2c=4

2

，再据b²=a²-c²求出b²的值，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），利用斜率公式及P在椭圆上求得k₁和k₂ 的解析式，从而计算出 k₁•k₂的值．
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，求出S（x），可得函数f（x）的解析式，利用导数判断单调性，
从而求出极值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，2a=6，∴a=3．
又2c=4

2

，∴c=2

2

，b²=a²-c²=1，故椭圆的方程为

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-3，0），B（3，0），，则

x02

9

+y02=1，即

y

2 0

=1-

x 2 0

9

，则k1=

y0

x0+3

，k2=

y0

x0-3

，即 k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -9

=

1- x 2 0 9

x 2 0 -9

=-

1

9

，∴k₁•k₂为定值 -

1

9

．
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，则 S(x)=

1

2

(6+2x)|y|，且y2=1-

x2

9

，
于是，f(x)=

S2(x)

x+3

=

(x+3)2(1- x2 9 )

x+3

=-

x3

9

-

x2

3

+x+3 （0＜x＜3），
f′(x)=-

x2

3

-

2

3

x+1．  令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
当0＜x＜1，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜3，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以f（x）在x=1时取得极大值，也是最大值

32

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，以及利用导数判断函数的单调性求函数的极值．