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(2012•顺河区一模)偶函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2),且在x∈[0,2]时,f(x)=2cos
π
4
x
,则关于x的方程f(x)=(
1
2
)x,在x∈[-2,6]
上解的个数是(  )
分析:根据题意,函数f(x)是周期为4的是偶函数,在[0,2]上的表达式为f(x)=2cos
π
4
x
,由此不难作出f(x)在[-2,6]上的图象,再在同一坐标系内作出函数y=(
1
2
x的图象,观察两个图象的交点个数,即得本题方程实数根的个数.
解答:解:∵当x∈[0,2]时,0≤
π
4
x≤
π
2
f(x)=2cos
π
4
x

∴函数f(x)在x=0时,函数值有最大值f(0)=2cos0=2,
在x=2时,函数值有最小值f(2)=2cos
π
2
=0.
由此作出函数f(x)在x∈[0,2]时的图象,呈减函数趋势如图
∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x)在[-2,0]上的图象与[0,2]上的图象关于y轴对称,如图所示
∵函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2),∴函数f(x)是周期T=4的周期函数.
因此,将f(x)在[-2,2]上的图象向右平移一个周期,得f(x)在[2,6]上的图象
∴函数f(x)在[-2,6]上的图象如右图所示,是位于x轴上方的两段余弦型曲线弧
在同一坐标系内作出函数y=(
1
2
x的图象,可得它经过点(0,1),呈减函数趋势如图
因为两个图象有4个交点,得关于x的方程f(x)=(
1
2
x的实数根也有4个
故选D
点评:本题以一个关于x的方程根的个数讨论为载体,考查了函数的单调性与奇偶性、基本初等函数图象作法和函数的周期等知识点,属于中档题.
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