Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（1）求证：BE∥平面ACF；
（2）求证：CD⊥DE；
（3）求直线AC与平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC，BD交于O，连OF，由已知OF∥BE，由此能证明BE∥平面ACF．
（2）由已知得CD⊥AD，CD⊥AE，从而CD⊥平面ADE，由此能证明CD⊥DE．
（3）由CD⊥平面ADE，得∠CAD是直线AC与平面ADE所成角，由此能求出直线AC与平面ADE所成角的正切值．

解答： （1）证明：连接AC，BD交于O，连OF
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（2）证明：∵底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，
∴CD⊥AD，CD⊥AE，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE，
∵DE?平面ADE，∴CD⊥DE．
（3）解：∵CD⊥平面ADE，
∴∠CAD是直线AC与平面ADE所成角，
∵底面ABCD为正方形，
∴∠CAD=45°，∴tan∠CAD=tan45°=1，
∴直线AC与平面ADE所成角的正切值是1．

点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．