Question

（2009•崇明县二模）已知函数f(x)=x+

a

x

+b，（x＞0），其中a，b∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性（不必证明）；
（2）当a=

1

2

时，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对参数a进行讨论．当a＜0时，在（0，+∞）上是增函数；当a=0，时f（x）=x+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0，时f（x）在(0，

a

)上是减函数，在(

a

，+∞)上是增函数．
（2）不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，即等价于f（x）_max≤10在[

1

4

，1]上恒成立，由于函数在[

1

4

，1]上的最大值在

1

4

，1上取得，故只需比较f(

1

4

)=

1

4

+4a+b，f（1）=1+a+b即可，从而可求b的取值范围．

解答：解：（1）当a＜0时，f(x)=x+

a

x

+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a=0时，f（x）=x+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在(0，

a

)上是减函数，在(

a

，+∞)上是增函数．
（2）不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，即等价于f（x）_max≤10在[

1

4

，1]上恒成立
f(

1

4

)=

1

4

+4a+b，f（1）=1+a+b
因为a=

1

2

，所以f(

1

4

)-f(1)=3a-

3

4

=

3

4

＞0
所以f(x)max=f(

1

4

)=

1

4

+4a+b，

1

4

+4a+b≤10b≤10-

1

4

-4a=

35

4

，
即b≤

35

4

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的单调性，考查利用函数的最值求解函数恒成立问题，关键是分类讨论，确定函数再区间上的最大值．