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    求证：
    1
    2
    -
    1
    n+1
    ＜
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    （n≥2且n∈N）
    分析：利用放缩法来证明，将其变形为
    1
    n2
    ＞
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ，然后用叠加法得证．
    解答：解：
    证明：∵n2＜n•（n+1），∴
    1
    n2
    ＞
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1

    ∴
    1
    22
    ＞
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    32
    ＞
    1
    3
    -
    1
    4
    ，…
    ∴
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
     ＞
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…+
    1
    n
    -
    1
    n+1

    即∴
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＞
    1
    2
    -
    1
    n+1

    故
    1
    2
    -
    1
    n+1
    ＜
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ，即证．
    点评：此题主要考查不等式的放缩法，同时还运用了叠加法．
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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若n∈N+，n≥2，求证：
    1
    2
    -
    1
    n+1
    ＜
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜1-
    1
    n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）△ABC的三边a，b，c倒数成等差数列，求证：B＜
    π
    2

    （2）证明：
    1
    2
    -
    1
    n+1
    ＜
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜
    n-1
    n
    (n=2，3，4…)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）当n∈N+时，求证：
    1
    2
    ≤
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    ＜1；
    （2）当n∈N+时，求证：1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜2．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    若n∈N+，n≥2，求证：
    1
    2
    -
    1
    n+1
    ＜
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜1-
    1
    n
    ．

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