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    （1）当n∈N+时，求证：
    1
    2
    ≤
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    ＜1；
    （2）当n∈N+时，求证：1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜2．
    分析：（1）利用 
    1
    2n
    +
    1
    2n
    +
    1
    2n
    +…+
    1
    2n
    ≤
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    ＜
    1
    n
    +
    1
    n
    +…+
    1
    n
    ，进行放缩．
     （2）利用 1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜1+
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    (n-1)×n
     
    =1+1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…+
    1
    n-1
    -
    1
    n
    =2-
    1
    n
    ，得到要证的结果．
    解答：解：（1）证明：∵
    1
    2n
    +
    1
    2n
    +
    1
    2n
    +…+
    1
    2n
    ≤
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    ＜
    1
    n
    +
    1
    n
    +…+
    1
    n
    ，
    ∴
    1
    2
    ≤
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    ＜1，故不等式成立．
     （2）证明：∵1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜1+
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    (n-1)×n
     
    =1+1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…+
    1
    n-1
    -
    1
    n
    =2-
    1
    n
    ＜2，
    即 1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ＜2．
    点评：本题考查用放缩法证明不等式，掌握好放缩的程度，是解题的难点．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足an+1=3Sn，n∈N*．数列{bn}满足bn=log4an．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）当n≥2时，试比较b1+b2+…+bn与
    1
    2
    (n-1)2    的大小，并说明理由；
    （3）试判断：当n∈N*时，向量
    a
    =（an，bn）是否可能恰为直线l：y=
    1
    2
    x+1    的方向向量？请说明你的理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}中，a1=a2=1，当n∈N*时，满足an+2=an+1+an，且设bn=a4n．求证：数列{bn}各项均为3的倍数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=
    1
    2
    ．
    （1）当n∈N*时，求f（n）的表达式；
    （2）设an=n•f（n），n∈N*，求证a1+a2+a3+…+an＜2；
    （3）设bn=（9-n）
    f(n+1)
    f(n)
    ，n∈N*，Sn为bn的前n项和，当Sn最大时，求n的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，当n∈N+时，Sn=an-n-1．
    （1）求a2，a3，a4；
    （2）猜想an，并用数学归纳法证明你的猜想；
    （3）已知
    lim
    n→∞
    an
    an+1+(a+1)n
    =
    1
    2
    ，求a的取值范围．

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