Question

数列{a_n}中，a₁=a₂=1，当n∈N^*时，满足a_n+2=a_n+1+a_n，且设b_n=a_4n．求证：数列{b_n}各项均为3的倍数．

Answer 1

分析：由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证之，这里要注意数列{a_n}是由递推关系给出的．

解答：证明：（1）∵a₁=a₂=1，故a₃=a₁+a₂=2，a₄=a₃+a₂=3，
∴b₁=a₄=3，即当n=1时，b₁能被3整除．
（2）假设n=k时，即b_k=a_4k是3的倍数．
则n=k+1时，
b_k+1=a_4（k+1）=a_（4k+4）=a_4k+3+a_4k+2
=a_4k+2+a_4k+1+a_4k+1+a_4k
=3a_4k+1+2a_4k．
由归纳假设，a_4k是3的倍数，故可知b_k+1是3的倍数．
∴n=k+1时命题正确．
综合（1）（2），可知对任意正整数n，数列{b_n}的各项都是3的倍数．

点评：本题考查由递推式给出的数列中的证明问题，属中档题，数列问题与正整数有关，所以其中证明问题可考虑数学归纳法．