Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，当n∈N⁺时，S_n=a_n-n-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n，并用数学归纳法证明你的猜想；
（3）已知

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

=

1

2

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1，当n∈N⁺时，S_n=a_n-n-1，可求得a₂，a₃，a₄；
（2）猜想an=2n-1，再用数学归纳法证明：当n=1时，经验证成立；假设当n=k，（k≥1）时结论成立，即ak=2k-1，则当n=k+1时，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，两式相减即可证得；
（3）

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

=

1

2

，即

lim

n→∞

2n-1

2n+1-1+(a+1)n

=

1

2

，进而可得

lim

n→∞

(

a+1

2

)n=0，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵a₁=1，当n∈N⁺时，S_n=a_n-n-1
∴S₂=a₂-3，∴a₂=3；S₃=a₃-4，∴a₃=7；S₄=a₄-5，∴a₄=15
（2）猜想an=2n-1
证明：当n=1时，经验证成立
假设当n=k，（k≥1）时结论成立，即ak=2k-1
则当n=k+1时，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，
两式相减得到a_k=a_k+1-a_k-1，∴a_k+1=2a_k+1，∴ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1
所以当n=k+1时，结论成立      
综上所述：an=2n-1
（3）

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

=

1

2

，即

lim

n→∞

2n-1

2n+1-1+(a+1)n

=

1

2

则

lim

n→∞

1- 1 2n

2- 1 2n +( a+1 2 )n

=

1

2

，得到

lim

n→∞

(

a+1

2

)n=0
∴|

a+1

2

|＜1
∴-3＜a＜-1

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法的运用，考查数列的极限，掌握数学归纳法的证明方法是关键．