Question

在正三棱锥S-ABC中，D是AB的中点，且SD与BC成45°角，则SD与底面ABC所成角的正弦为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  3

• C、

  3

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：由题意，利用方程的思想，先设出侧棱长为l，正三棱锥的底边长为a，利用异面直线所成角的概念及已知的所成角为45°建立l和a的方程，解出棱长l用a表示，在利用直线与平面所成角的概念求出所要求得线面角．

解答：解：由题义画出以下图形：由于三棱锥S-ABC为正三棱锥，设侧棱为l，底面边长为a，因为D是AB的中点，且SD与BC成45°角，如图取AC的中点E，因为DE∥BC，所以∠SDE=45°，在直角三角形SDE可以建立l2-

a2

4

+l2-

a2

4

=

a2

4

?l=

3 8

a，在直角三角形SOD中，OD=

3

6

a，SD=

l2- a2 4

 =

3 8 a2- a2 4

=

1 8

a，SO=

1 24

a，所以直线ssssSD与平面ABC所成的线面角即为∠SDO，所以SD与底面ABC所成角的正弦值为sin∠SDO=

SO

SD

=

3

3

，
故答案为：C

点评：此题重点考查了异面直线所成角的概念，还考查了直线与平面所成的线面角的概念及解题过程中方程的解题思想．