Question

13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=λ$成立，那么λ的取值范围是（　　）

• A． （0，7）
• B． （4，7）
• C． （0，4）
• D． （-5，16）

Answer 1

分析 建立坐标系，逐段分析$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围及对应的解，

解答 解：以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E（0，4），F（6，4）．
（1）若P在CD上，设P（x，0），0≤x≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（-x，4），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，4）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤16．
∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．
（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（0，4-y），$\overrightarrow{PF}$=（6，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（4-y）²=y²-8y+16，∵0＜y≤6，∴0≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜16．
∴当λ=0或4＜λ＜16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．
（3）若P在AB上，设P（x，6），0＜x≤6.$\overrightarrow{PE}$=（-x，-2），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，-2）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+4，∵0＜x≤6．∴-5≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤4．
∴当λ=-5或λ=4时有一解，当-5＜λ＜4时有两解．
（4）若P在BC上，设P（6，y），0＜y＜6，∴$\overrightarrow{PE}$=（-6，4-y），$\overrightarrow{PF}$=（0，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（4-y）²=y²-8y+16，∵0＜y＜6，∴0≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜16．
∴当λ=0或4≤λ＜16时有一解，当0＜λ＜4时有两解．
综上，∴0＜λ＜4．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积计算，二次函数的根的个数判断．属于中档题．