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数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.
分析:(1)通过递推关系式求出an与an+1的关系,推出{an+3}即数列{bn}是等比数列,求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式;
(2)写出数列{nan}的通项公式,然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可.
解答:解:(1)∵Sn=2an-3n,对于任意的正整数都成立,
∴Sn+1=2an+1-3n-3,
两式相减,得a n+1=2an+1-2an-3,即an+1=2an+3,
∴an+1+3=2(an+3),
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列,
由已知条件得:S1=2a1-3,a1=3.
∴首项b1=a1+3=6,公比q=2,
∴an=6•2n-1-3=3•2n-3.
(2)∵nan=3×n•2n-3n
∴Sn=3(1•2+2•22+3•23+…+n•2n)-3(1+2+3+…+n),
2Sn=3(1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1)-6(1+2+3+…+n),
∴-Sn=3(2+22+23+…+2n-n•2n+1)+3(1+2+3+…+n)
=
2(2n-1)
2-1
-6n•2n+
3n(n+1)
2

∴Sn=(6n-6)•2n+6-
3n(n+1)
2
点评:本题考查数列递推式,等比关系的确定,数列的求和的方法---错位相减法的应用,高考参考题型,考查计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的公比q≠1,Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{an}的前n项的乘积,Tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中数学 来源: 题型:

若数列{an}的通项an=
1
pn-q
,实数p,q满足p>q>0且p>1,sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:当n≥2时,pan<an-1
(2)求证sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求证sn
2
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是数列{an}的前n项和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=2an+bn,求数列{bn}的通项公式bn

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•商丘二模)数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…,
1
n
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下运算和结论:
①a24=
3
8

②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;
③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=
n2+n
4

④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=
5
7

其中正确的结论是
①③④
①③④
.(将你认为正确的结论序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列{an}为等比数列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么满足条件的△ABC有两解;
③设函数f(x)=x|x-a|+b,则函数f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;
④设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是

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