Question

13．已知命题p：函数f（x）=lg（ax²-6x+a）的定义域为R，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若“p或q”为真，“p且q“为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出p真，a＞3，q真，$a＞\frac{5}{2}$，利用p真q假或p假q真分别列出不等式组求解即可．

解答 解：若p真，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$，∴a＞3，-----------------（2分）
若q真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，
则应满足$\left\{{\begin{array}{l}{△={{（{-3a}）}^2}-4（2{a^2}+1）≥0}\\{-\frac{-3a}{2}＞3}\\{f（3）=9-9a+2{a^2}+1＞0}\end{array}}\right.$-------（4分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥2或a≤-2\\ a＞2\\ a＜2或a＞\frac{5}{2}\end{array}\right.$∴$a＞\frac{5}{2}$-----------（6分）
又由题意可得p真q假或p假q真-------------（7分）
（1）若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}a＞3\\ a≤\frac{5}{2}\end{array}\right.$∴a无解------------（9分）
（2）若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}a≤3\\ a＞\frac{5}{2}\end{array}\right.$∴$\frac{5}{2}＜a≤3$--------（11分）
综上可得，a的取值范围是$\left\{{a|\frac{5}{2}＜a≤3}\right\}$------------（12分）．

点评 本题考查对数函数的定义域，一元二次方程根的分布，集合的运算，简易逻辑，考查计算能力．