Question

1．已知直线l₁：x+ay=2a+2和l₂：ax+y=a+1．
（Ⅰ） 若l₁⊥l₂，求a的值；
（Ⅱ） 若l₁∥l₂，求这两条平行线间的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当两条直线垂直时，A₁A₂+B₁B₂=0，解方程求出a的值．
（Ⅱ）利用两直线平行时，由A₁B₂+A₂B₁=0且A₁C₂+A₂C₁≠0，求出a的值，再根据平行线间的距离公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）已知直线直线l₁：x+ay=2a+2，和l₂：ax+y=a+1，
若l₁⊥l₂，由A₁A₂+B₁B₂=0得：a+a=0，
∴a=0．
（Ⅱ）解法一：若l₁∥l₂，由A₁B₂+A₂B₁=0且A₁C₂+A₂C₁≠0，得$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2}=0}\\{-a（a+1）+2a+2≠0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=±1}\\{a≠-1且a≠2}\end{array}\right.$，a=1．
这时，l₁：x+-4=0和l₂：x+y-2=0，
这两条平行线间的距离$d=\frac{{|{C_1}-{C_2}|}}{{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．