Question

10．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是不共线的非零向量，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）已知$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为基底，表示向量$\overrightarrow{c}$；
（2）若4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，求λ，μ的值．

Answer 1

分析 根据平面向量的基本定理分别列出方程组解出；

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，则3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+μ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（λ+μ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（3μ-2λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=3}\\{3μ-2λ=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{μ=2}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$．
（2）4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+μ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（λ+μ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（3μ-2λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=4}\\{3μ-2λ=-3}\end{array}\right.$，解得λ=3，μ=1．

点评 本题考查了平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．