Question

（2012•珠海二模）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）根据题意，成绩在第一组的为优秀，其频率为0.06，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数；
（2）由频率分布直方图知成绩在第三组的频率0.38，因此估计成绩属于第三组的人数约为900×0.38=342人；
（3）由题意，ξ的可能取值为1，2，3．根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．

解答：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，
人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3． …（3分）
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342．…（7分）
（3）ξ的可能取值为1，2，3；
p(ξ=1)=

C 1 1 • C 1 2

C 2 3

×

C 2 3 • C 0 1

C 2 4

=

1

3

…（8分）
p(ξ=2)=

C 2 2 • C 0 1

C 2 3

×

C 0 1 • C 2 3

C 2 4

+

C 1 2 • C 1 1

C 2 3

×

C 1 1 • C 1 3

C 2 4

=

1

2

…（9分）
p(ξ=3)=

C 2 2 • C 0 1

C 2 3

×

C 1 1 • C 1 3

C 2 4

=

1

6

…（10分）
∴ξ的分布列为：

P	1	2	3
ξ	1/3	1/2	1/6

…（11分）
∴Eξ=1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)=

11

6

=1

5

6

…（12分）

点评：本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数、900名学生中成绩属于第三组的人数的估计值，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．