Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为(2，0)且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．

(1)求实数c的值；

(2)在函数f(x)图像上是否存在一点M(x₀，y₀)，使f(x)在点M的切线斜率为3b?若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）因为f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，所以x=0是f(x)的一个极值点

∴(0)=0  ∴c=0 

（2）因为f(x)交x轴于点B(2,0),所以

8a+4b+d=0即d=-4(b+2a) 

令(x)=0得3ax²+2bx=0,解得x₁=0,x₂=- 

因为f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反单调性,

所以-≥2且-≤4

即有-6≤≤-3 

假设存在点M（x₀,y₀），使得f(x)在点M的切线斜率为3b,则(x₀)=3b

即3ax₀²+2bx₀-3b=0  所以△=4ab(+9)

∵-6≤≤-3,∴ab＜0,+9＞0,∴△＜0

故不存在点M（x₀,y₀），使得f(x)在点M的切线斜率为3b.