Question

18．求证：
（1）tanA-$\frac{1}{tanA}$=-$\frac{2}{tan2A}$；
（2）sinθ（1+cos2θ）=sin2θcosθ；
（3）sin²$\frac{α}{4}$=$\frac{1-cos\frac{α}{2}}{2}$；
（4）1+sinα=2cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）；
（5）1-sinα=2cos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式进行证明；
（2）运用二倍角公式可得左边=sinθ•2cos²θ=（2sinθcosθ）cosθ=sin2θcosθ=右边，命题得证；
（3）利用降幂公式进行证明即可；
（4）（5）利用诱导公式和降幂公式进行证明．

解答 证明：（1）因为，左边=tanA-$\frac{1}{tanA}$=$\frac{ta{n}^{2}A-1}{tanA}$，右边-$\frac{2}{tan2A}$=-$\frac{2}{\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}}$=$\frac{ta{n}^{2}A-1}{tanA}$，
所以，左边=右边，
所以tanA-$\frac{1}{tanA}$=-$\frac{2}{tan2A}$；
（2）因为，左边=sinθ•2cos²θ=（2sinθcosθ）cosθ=sin2θcosθ=右边，
所以，原等式成立．
（3）sin²$\frac{α}{4}$=$\frac{1}{2}$[1-cos（2×$\frac{α}{4}$）]=$\frac{1-cos\frac{α}{2}}{2}$，即sin²$\frac{α}{4}$=$\frac{1-cos\frac{α}{2}}{2}$．
（4）因为，右边=1+cos（$\frac{π}{2}$-α）=1+sinα=左边，
所以，原等式成立．
（5）因为，右边=1+cos（$\frac{π}{2}$+α）=1-sinα=左边，
所以，原等式成立．

点评 本题考查三角函数的化简和证明，考查同角的基本关系式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．