Question

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

   （Ⅰ）求实数a的取值范围；

   （Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

   （Ⅲ）设函数，试判断函数在上的符号，

并证明： 。

Answer 1

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

   （Ⅰ）求实数a的取值范围；

   （Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

   （Ⅲ）设函数，试判断函数在上的符号，

并证明： 。

解：（Ⅰ）

        由题意

                        

      

            ②

       由①、②可得，

       故实数a的取值范围是            

（Ⅱ）存在   

       由（1）可知，

       ，且

	+	0	－	0	+
	单调增	极大值	单调减	极小值	单调增

       ，

      

              

      

的极小值为1

（Ⅲ）由

即

故，

则在上是增函数，故，

所以，在上恒为正。

（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）

当时，，设，则

即，  

上式分别取的值为1、2、3、……、累加得：

，（）

，（）

，（）

，（）

即，，（）

又当时，，

故，当且仅当时取等号。1