Question

7．若P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂为其两个焦点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=2α，则椭圆的离心率为2cosα-1．

Answer 1

分析 依据椭圆的定义2a=|PF₁|+|PF₂|，2c=|F₁F₂|，又由e=$\frac{2c}{2a}$，在△PF₁F₂中解此三角即可得证．

解答 证明：在△PF₁F₂中，由正弦定理知$\frac{|P{F}_{1}|}{sin2α}=\frac{|P{F}_{2}|}{sinα}=\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sin（π-3α）}$．
由比例的性质得$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sin3α}=\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{sin2α+sinα}$⇒e=$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}$=$\frac{sin3α}{sin2α+sinα}$
=$\frac{sinαcos2α+cosαsin2α}{sinα+2sinαcosα}$=$\frac{4co{s}^{2}α-1}{2cosα+1}$=2cosα-1．
故答案为：2cosα-1．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．恰当地利用比例的性质有事半功倍之效．