Question

17．若x∈R，求$\sqrt{（x-5）^{2}+16}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$的最大值．

Answer 1

分析 $\sqrt{（x-5）^{2}+16}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-4）^{2}}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-2）^{2}}$，利用其几何意义，可得$\sqrt{（x-5）^{2}+16}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$的最大值为（5，4）与（1，2）的距离．

解答 解：$\sqrt{（x-5）^{2}+16}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-4）^{2}}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-2）^{2}}$，
表示点（x，0）与点（5，4）的距离减去点（x，0）与点（1，2）的距离，
∴$\sqrt{（x-5）^{2}+16}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$的最大值为（5，4）与（1，2）的距离，即$\sqrt{（5-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查求$\sqrt{（x-5）^{2}+16}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$的最大值，正确理解其几何意义是关键．