Question

16．如图，三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：平面ABC⊥平面APC；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若M为棱BC上一点，且二面角M-PA-C的大小为$\frac{π}{6}$，求$\frac{BM}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，由等腰三角形的性质得OP⊥OC，从而得到OP⊥OB，进而得到OP⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面APC．
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（3）设 $\frac{BM}{BC}$=λ，0≤λ≤1，求出平面APM的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{2\sqrt{3}λ}{2λ-2}$，$\sqrt{3}$，1），再由平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{p}$=（1，0，0），二面角M-PA-C的大小为$\frac{π}{6}$，利用向量法能求出$\frac{BM}{BC}$的值．

解答 （1）证明：取AC中点O，∵AP=BP，∴OP⊥OC  
由已知得△ABC为直角三角形，
∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC．
（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{{n}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{n}_{1}}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{{n}_{1}}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（3）解：设 $\frac{BM}{BC}$=λ，0≤λ≤1，M（a，b，c），$\overrightarrow{BM}=（a-2，b，c），\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，
∴（a-2，b，c）=λ（-2，2，0），∴M（2-2λ，2λ，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AM}$=（2-2λ，2λ+2，0），
设平面APM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=2{y}_{1}+2\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=（2-2λ）{x}_{1}+2λ{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{2\sqrt{3}λ}{2λ-2}$，$\sqrt{3}$，1），
又平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{p}$=（1，0，0），二面角M-PA-C的大小为$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|\frac{2\sqrt{3}λ}{2λ-2}|}{\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}λ}{2λ-2}）^{2}+4}}$=cos$\frac{π}{6}$，
解得λ=$\frac{2}{3}$，或λ=2（舍），
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．