Question

一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数f(x)=

4x

4x+m

的定义域为R，其图象关于点M(

1

2

，

1

2

)对称．
（1）求常数m的值；
（2）解方程：log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2；
（3）求证：f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)=

3n+1

6

（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=

4x

4x+m

的图象关于点M(

1

2

，

1

2

)对称，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化简，可得结论；
（2）由（1）知，f(x)=

4x

4x+2

，代入化简方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得结论．

解答：（1）解：∵函数f(x)=

4x

4x+m

的图象关于点M(

1

2

，

1

2

)对称，∴f（x）+f（1-x）=1
∴

4x

4x+m

+

41-x

41-x+m

=1
∴

4x

4x+m

+

4

m•4x+4

=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，f(x)=

4x

4x+2

∵log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2
∴log2(1-

4x

4x+2

)log2(4-x•

4x

4x+2

)=2
∴[log2(4x+2)]²-log2(4x+2)-2=0
∴log2(4x+2)=2或log2(4x+2)=-1
∴x=

1

2

；
（3）证明：设g(n)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)可写成g(n)=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+f(

n-3

n

)+…+f(

1

n

)+f(

n

n

) 
两式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴2g(n)=n-1+2f(

n

n

)=n-1+2f(1)=

3n+1

3

，所以g(n)=

3n+1

6

．

点评：本题考查函数的对称性，考查对数方程，考查等式的证明，正确运用函数的对称性是关键．