Question

7．${（{\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}}）^n}$展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=10，展开式中的常数项是180．

Answer 1

分析 由${（{\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}}）^n}$展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n=10．再利用$（\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}）^{10}$的通项公式即可得出．

解答 解：∵${（{\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}}）^n}$展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．
∴$（\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}）^{10}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}（\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=2^r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{5r}{2}}$，解得r=2．
∴常数项为：${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$=180．
故答案为：10，180．

点评 本题参考二项式定理的展开式及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．