Question

已知函数f（x）=

log2x，x＞0 2x，x≤0

，若函数g（x）=f（x）-kx有零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、[

  1

  eln2

  ，+∞）
• C、（-∞，

  1

  eln2

  ]
• D、（-∞，1）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）-kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log₂x相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

log2x，x＞0 2x，x≤0

，
画出f（x）的图象，
函数g（x）=f（x）-kx有零点，
即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，
作出直线y=kx，
由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，
设直线y=kx与曲线y=log₂x相切的切点
为p（m，n），由于（log₂x）′=

1

xln2

，即切线的斜率为

1

mln2

=k，
又n=km，n=log₂m，解得m=e，k=

1

eln2

，
则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k≤

1

eln2

，
综上，可得实数k的取值范围是：（-∞，

1

eln2

]．
故选C．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．