Question

函数f（x）=x²-2ax-1，x∈[0，2]．
（1）若a=1，写出函数f（x）在[0，2]上的单调区间（不必证明）；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=x²-2x-1，开口向上，对称轴为x=1；从而写出单调区间．
（2）由二次函数的性质，讨论对称轴的位置，以确定最值．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2x-1，
开口向上，对称轴为x=1；
则函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
（2）①若a≤0，则f（x）在[0，2]上单调递增，
则f_max（x）=f（2）=4-4a-1=3-4a，
f_min（x）=f（0）=-1，
②若0＜a≤1，则f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增；
且f（0）≤f（2），
则f_max（x）=f（2）=4-4a-1=3-4a，
f_min（x）=f（a）=-a²-1，
③若1＜a＜2，则f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增；
且f（0）＞f（2），
则f_max（x）=f（0）=-1，
f_min（x）=f（a）=-a²-1，
④若a≥2，则f（x）在[0，2]上单调递减，
则f_max（x）=f（0）=-1，
f_min（x）=f（2）=3-4a．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．