Question

如图10-23，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.

图10-23

(Ⅰ)求截面EAC的面积；

(Ⅱ)求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；

(Ⅲ)求三棱锥B₁－EAC的体积.

Answer 1

(Ⅰ)解：如图10-55，连结DB交AC于O，连结EO.

∵底面ABCD是正方形，

图10-55

∴DO⊥AC         又∵ED⊥底面AC，        ∴EO⊥AC.

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD＝45°

DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a，

 

故S_△EAC＝a²．

 

(Ⅱ)解：由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC．

 

又A₁A⊥A₁B₁，

 

∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线.

 

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，

 

∴D₁B∥EO又O是DB的中点.

 

∴E是D₁D的中点，D₁B＝2EO＝2a.

 

∴D₁D＝＝a异面直线A₁B₁与AC间的距离为a.

 

(Ⅲ)方法一：如图10-56，连结D₁B₁．

图10-56

∵D₁D＝DB＝a，

 

∴BDD₁B₁是正方形连结B₁D交D₁B于P，交EO于Q

 

∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO．

 

又AC⊥EO，AC⊥ED．

 

∴AC⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，

 

∴B₁D⊥面EAC．∴B₁Q是三棱锥B₁-EAC的高.

 

由DQ＝PQ，得B₁Q＝B₁D＝a

 

∴V_B1－EAC＝·a²·a＝a³．

 

所以三棱锥B₁-EAC的体积是a³.

 

方法二：连结B₁O，则V_B1－EAC＝2V_A－EOB1

 

∵AO⊥面BDD₁B₁，

 

∴AO是三棱锥A-EOB₁的高，AO＝a

 

在正方形BDD₁B₁中，E、O分别是D₁D、DB的中点(如图10-56)，则S_△EOB1＝a²

 

∴V_B1－EAC＝2··a²·a＝a³.

 

所以三棱锥B₁-EAC的体积是a³.