Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，f（

π

4

）=

3

+1，且f（x）得最大值为3．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的对称中心，对称轴方程．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期为π，可解得ω的值，由f（x）得最大值为3，可得A的值，由f（

π

4

）=

3

+1，可得φ的值，从而可求f（x）的表达式．
（2）令2x+

π

6

=kπ，k∈Z可解得x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，从而可求函数f（x）的对称中心，对称轴方程．

解答： 解：（1）∵周期为π，∴π=

2π

ω

，可解得ω=2，
∵f（x）得最大值为3．∴A=3-1=2，
∵f（

π

4

）=

3

+1，∴f（

π

4

）=2sin（2×

π

4

+φ）+1=

3

+1，可得cosφ=

3

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

∴f（x）的表达式为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1
（2）令2x+

π

6

=kπ，k∈Z可解得x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
故函数f（x）的对称中心是（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z，对称轴方程是x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．