Question

2．设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f′（ξ）=-$\frac{3f（ξ）}{ξ}$．

Answer 1

分析 设F（x）=x³f（x），可得F（1）=F（0）=0，根据罗尔定理，可得在（0，1）内至少存在一点ξ，使得F′（ξ）=0，进而得到答案．

解答 证明：设F（x）=x³f（x），显然函数F（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，
且F（0）=0f（0）=0，F（1）=1f（1）=0，
即F（0）=F（1）
所以根据罗尔定理，在（0，1）内至少存在一点ξ，使得F′（ξ）=3ξ²f（ξ）+ξ³f′（ξ）=0．
即3f（ξ）=-ξf′（ξ），
即f′（ξ）=-$\frac{3f（ξ）}{ξ}$．

点评 本题考查的知识点是罗尔定义的应用，函数的连续性，难度中档．